[LG]《Topological Invariance and Breakdown in Learning》Y Yang, T Poggio, I Chuang, L Ziyin [University of Michigan & MIT] (2025)
《Topological Invariance and Breakdown in Learning》解读
🔍 本文揭示：在广泛的置换等变学习规则（如SGD、Adam）下，训练过程会诱导神经元间的双Lipschitz映射，强烈约束神经元分布的拓扑结构。
⚖️ 关键发现：
1️⃣ 学习率 η 有一个临界点 η*：
- 当 η < η*，训练保持神经元拓扑不变（拓扑不变性），模型表现为平滑优化阶段，拓扑结构稳定。
- 当 η > η*，拓扑不变性破裂，训练允许拓扑简化，神经元流形逐渐粗化，模型表达能力降低，这是拓扑相变现象。
2️⃣ 该理论不依赖具体架构或损失函数，具有普适性，适用于深度学习的拓扑研究。
🌐 理论意义：
- 置换等变性导致学习动态产生拓扑约束，低学习率阶段对应拓扑保守的优化，符合NTK和mean-field理论；高学习率阶段对应拓扑简化，与“边缘稳定”现象相呼应。
- 拓扑简化意味着参数对称性恢复，模型参数有效数目下降，影响模型容量与泛化。
🧪 实验验证：
- 低维网络视觉化神经元拓扑：小学习率保持初始拓扑，大学习率引发拓扑变化。
- MNIST任务中测量Betti数（拓扑不变量）验证理论，支持拓扑临界点存在。
- 不同优化器（GD, Adam, Momentum）均符合理论预测。
💡 应用展望：
- 该拓扑视角或助于设计更有效的学习率调度策略（如先大后小），平衡探索与稳定。
- 深度学习理论需考虑拓扑相变，现有NTK等理论仅适用于小学习率阶段。
- 拓扑方法为理解训练动力学提供新工具，连接数学拓扑与物理相变理论。
👉 详细理论及证明见论文全文，附实验与代码验证。
原文链接：arxiv.org/abs/2510.02670
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